Теорема 34 устанавливает возможность элиминации
Теорема 34 устанавливает возможность элиминации кванторов в поле комплексных чисел. Как мы уже отмечали (теорема 38), это преобразование дает формулу, равносильную во всех алгебраически замкнутых полях характеристики . Отсюда следует, как обычно, что теория алгебраически замкнутых полей характеристики полна. (Ее аксиомы таковы: аксиомы равенства, аксиомы поля, счетный набор утверждений о том, что любой многочлен степени с ненулевым старшим коэффициентом имеет корень, а также счетный набор утверждений вида .) Эта теория совпадает с элементарной теорией поля комплексных чисел.
Другое доказательство полноты этой теории можно получить с помощью критерия Лося-Воота (теорема 66) и утверждения следующей задачи.
136. Покажите, что теория алгебраически замкнутых полей характеристики не категорична в счетной мощности, но категорична в любой несчетной мощности. (Указание: алгебраически замкнутое поле имеет базис трансцендентности над ; если поле несчетно, то базис равномощен полю.)
137. Покажите, что теория алгебраически замкнутых полей данной характеристики полна.
138. Покажите, что если некоторая формула в сигнатуре
истинна в алгебраически замкнутых полях характеристики , то она истинна и во всех алгебраически замкнуты